“π”趣史 “π”的发展历程

至今许多人都能回想起第一次遇到π的情景,也就是那个非常单调的公式:C=πD,A=πR2。这里的C代表圆周长,D代表直径,A代表面积,R代表半径。π一直就像一个迷,令人感到神秘不解。简单地说,如果你用圆形的周长除以圆周的直径,你得出的数字就是π。任何圆周的周长都近似于圆形直径的3倍,简单吗?但数学家们都认为π是个无理数,也就是说,如果你用圆周长除以直径,那么你得出的数值肯定是十进位的小数,并且这个数字将无休无止地延续下去。π的前几位数值是3.14159265……这一数字是除不尽的。对于π的好奇既成了一种宗教,又成为我们文化的重要组成。人类已经出版过许多以π为主题的书籍,例如,《π的乐趣》、《π的历史》等,此外还有许多网站也以π为专题,如最著名的一个网站www.cecm.sfu.ca/pi

在一部叫《π》的影片里,一位数学天才因为在股市里苦心寻找数字的规律而发疯了。虽然这部影片是虚构的,但是人类对一些数值的无尽追求却不是虚构的。几千年来,π已经使许多好求精密的大脑感到痛苦不堪。1999年,一位日本计算机科学家将π的数值推算至小数点后2060亿位数。π的数值推算得如此精确,除了用于检验计算机是否精确和数学理论研究之外,并无实际用处。令人意外的是,这位日本科学家却有着不同的观点,他说:“π和珠穆朗玛峰一样都是客观存在,我想精确测算出其数值,因为我无法回避它的存在。”

“竭尽法”――早期的π

历史上π首次出现于埃及。1858年,苏格兰一位古董商偶然发现了写在古埃及莎草纸上的π数值。莎草纸的主人从一开始就吹嘘自己发现的重要性,并有一个解式:“将(圆的)直径切除1/9,用余数建立一个正方形,这个正方形的面积和该圆的面积相等。”

古代巴比伦人计算出π的数值为3?。《圣经》中记载,为了测量所罗门修建一个圆形容器,使用的π的数值为3。但是希腊人还想进一步计算出π的精确数值,于是他们在一个圆内绘出一个直线多边形,这个多边形的边越多,其形状也就越接近于圆。希腊人称这种计算方法叫“竭尽法”,事实上也确实让不少数学家精疲力竭。阿基米德的几何计算结果的寿命要长一些,他通过一个96边形估算出π的数值在3 至3?之间。在以后的700年间,这个数值一直都是最精确的数值,没有人能够取得进一步成就。到了公元5世纪,中国数学和天文学家祖冲之和他的儿子在一个圆形里绘出了有24576条边的多边形,算出圆周率值在3.1415926和3.1415927之间,这样才将π的数值又向前推进了一步。

长期以来,π困扰了许多聪明的大脑。希腊人将这种测量π的方法称为圆变方形测量法。但问题是,如果给你一个直尺和一架圆规,你能绘出面积相等的正方形和圆形吗?π就是解决这个问题的关键。希腊科学家、哲学家阿那克萨哥拉由于广泛宣传太阳并不是上帝而身陷囹圄。为了打发狱中时光,他不断地想将圆形用最近似的方形表示出来。几个世纪之后,哲学家托马斯・霍布斯声称已经解决了这个问题,后来的实践证明是他自己算错了。

达・芬奇计算π数值的方法既简单又新颖。他找来一个圆柱体,其高度约为半径的一半(你可以用扁圆罐头盒来做),将它立起来滚动一周,它滚过的区域就是一个长方形,其面积大致与圆柱体的圆形面积相等。但是这种方法还是太粗略了,因此后人还是继续寻找新的精确方法。

1610年,荷兰人为π建立了一座不可思议的纪念碑。据说,在莱顿的彼得教堂的墓地里有一块墓碑,上面刻有2-8-8字样,代表了由荷兰数学家鲁道夫・冯・瑟伦计算出的π的第33到35位数。这位数学家在将π的数值计算到第20位时,得出结论:“任何愿意精确计算π值的人都能将其数值再向前推进一步。”但愿意继续做下去的人只有他一个。他用自己余生的14年将π值推进到第35位数。传说中那块铭记瑟伦的成就的墓碑早已不在,他付出的劳动也由于新发明微积分而黯然失色。

确立与徘徊

  1665年,伦敦瘟疫流行,伊萨克・牛顿只好休学养病。在此期间他发明了微积分,主要用于计算曲线。同时,他还潜心研究π的数值,后来他承认说:“这个小数值确实让我着迷,难以自拔,我对π的数值进行了无数次计算。”当他发明微积分后,他终于创造出一种新的计算π数值的方法。不久,科学家们就将π值不断向前推进。1706年,π的数值已经扩展到小数点后100位。也就是在这一年,一位英国科学家用希腊字母对π进行了命名,这样π就有了今天的符号(科学家们好像觉得π还不够难似的,π被定义为“直径乘以此值能够得出圆周长的数值”。)。到18世纪后期,将圆形无限变成多边形的方法正式退出了历史舞台。

  虽然目前科学家已经计算出π的前2060亿位数值,但是我们在做普通计算时,只取π的前三位数值,即3.14。使用π值的小数点后10位数,你计算出的地球周长的误差只有1英寸。如此看来,还有必要将π值再精确一步吗?

  在整个19世纪,人们还是希望计算出π的最后数值。当时汉堡有一位数学天才约翰・达斯能够心算出两个八位数的乘积值。他在计算时还能够做到一算就是几个小时,累了就睡觉,醒来时能够在睡前的基础上接着再计算下去。1844年,这位天才开始计算π的数值,在两个月之内,他将π值又向前推进到小数点后第205位。另一位数学天才威利姆・尚克则凭着自己手中的一支笔、一张纸,用了近20年时间,将π值进一步推进至小数点后707位。这一纪录一直保持到20世纪,无人能够刷新。遗憾的是,后人经过检验发现,这位天才的计算结果中小数点后第527位数字有误,20年的辛苦工作竟然得出这么个结果,不能不令人扼腕。

  在浩瀚的宇宙里,圆形一个接一个,小至结婚戒指,大到星际光环,π值始终不变。惟独美国的印第安纳州或该州议会要与人不一样。事情的起因源自1897年,该州一位名叫埃德温・古德温的医生声称“超自然力量教给他一种测量圆形的最好方法……”,其实他的所谓好办法仍只不过是将圆形变成无限的多边形。虽然早在1882年一位德国数学家已经证明π是永远除不尽的,也就是说不论你将圆形中的多边形的边长定得多么小,它永远是多边形,不会成为真正的圆形。但古德温偏不信,他开始着手改变这一不可能改变的事实。他确实把他的圆变成了方形,尽管他不得不采用值为9.2376的π,这几乎是π实际值的3倍。古德温将他的计算结果发表在《美国数学月刊》上,并报请政府对他的这个π予以批准承认,他甚至说服地方议员在该州下院通过一个法案,将自己的研究成果无偿提供给各个学校使用。由于他的议案里充满了数学术语,把下院的议员全搞懵了,因此议案得以顺利通过。但科学毕竟是科学,即便是政客也无法把一个数字强加给每个人。很快,有一位数学教授戳穿了古德温的荒谬。更令人啼笑皆非的是,严重的官僚主义使该法案拖了很长时间还没有得到上院的批准,算是阴错阳差,少了一个笑话。

  计算机时代的π

  π在令数学家头疼了几个世纪之后,终于在本世纪遇上了强大的对手――计算机。计算机最早出现在第二次世界大战期间,主要用于计算弹道轨迹。当时的计算机重达30吨,工作一小时需缴电费650美元。1949年,计算机曾对π值进行了长达70小时的计算,将其精确到小数点后2037位。但是令数学家大为挠头的是,他们仍然无法从中找到可循的规律。1967年,计算机将π值精确到小数点后50万位数,六年后又进一步进展到100万位,1983年,精确到1600万位。

  计算机的功能全在作为程序输进去的公式的好坏。首先使计算机计算π值成为可能的是20世纪最非凡的头脑之一斯里尼瓦萨・拉马鲁詹。他是印度南部一名穷职员,但他具有超人的数学天赋,并且始终自学不辍。1913年,他将自己的研究成果寄给了剑桥大学的哈迪。哈迪慧眼识天才,力邀他来剑桥从事研究工作。次年,拉马鲁詹便发表了自己的论文,披露了当时计算π值最快的公式。

  1984年,一对俄罗斯兄弟使用超级计算机将π值推进到小数点后10亿位,后来他们还获得了第一届麦克阿瑟基金“天才奖”。兄弟俩中的格利高里很有数学天赋,他在高中时就发表过重要的数学论文,他们的超级计算机能够永无休止地计算π数值。格利高里后来评论说:“计算π值是非常合适的试验计算机性能的测试工具。”为了计算π数值,兄弟俩从全国采购计算机部件,组装了世界上最强大的计算机。计算机的缆线绕满了各个房间,工作时就像个大加热器,即使使用十几台风扇来降温,室内温度仍然高达华氏90度。

  π根本就是无章可循的一长串数字,但是对π感兴趣的人却越来越多。每年的3月14日是旧金山的π节。下午1:59分,人们都要绕着当地的科学博物馆绕行3.14圈,同时嘴里还吃着各种饼,因为饼(pie)在英语里与π(pi)同音。在美国麻省理工学院,每年秋季足球比赛时,足球迷们都要大声欢呼自己最喜爱的数字:“3.14159!”

  加拿大蒙特利尔的少年西蒙・普洛菲现在已经 “对数字上瘾了”,他决心打破记忆π数值的世界纪录。他在第一天就已经能够记忆300位数字了,第二天他将自己独自关在一间黑屋子里,默记着π数值。半年后,他已经能够记住4096位数了。西蒙最终将自己所记数字花三小时全部背了出来,他也因此上了法语版《吉尼斯世界纪录》。但这一纪录保持的时间并不长,很快就突破了5000位大关。现在的保持者是广之后藤,他能够用9小时背出42195位数。在许多国家里都有记忆π数值的口诀,但是这些口诀的文采都无法与诗歌《π》相比。1996年诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦・申博尔斯卡曾为π写了一首诗歌,赞美其坚定不移地向着无限延伸。

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